METODO MATEMATICO DE EULER MEJORADO

MÉTODO DE EULER  MEJORADO

Este método se basa en la misma idea del método anterior, pero hace un refinamiento en la aproximación, tomando un promedio entre ciertas pendientes. 

La fórmula es la siguiente: 

 

donde

 

  SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES  “METODO DE EULER MEJORADO”

En el método de Euler se tomó como válida para todo el intervalo la derivada encontrada en un extremo de éste Fig. . Para obtener una exactitud ra­zonable se utiliza un intervalo muy pequeño, a cambio de un error de redondeo mayor (ya que se realizarán más cálculos).

El método de Euler modificado trata de evitar este problema utilizando un valor promedio de la derivada tomada en los dos extremos del intervalo. en lugar de la derivada tomada en un solo extremo.

EL METODO DE EULER MODIFICADO CONSTA DE DOS PASOS BASICOS:

1. Se parte de (xo,Yo) Y se utiliza el método de Euler a fin de calcular el valor de Y correspondiente a Xl' Este valor de Y se denotará aquí como YI' ya que sólo es un valor transitorio para Yl' Esta parte del proceso se conoce como paso predictor.

2. El segundo paso se llama corrector, pues trata de corregir la predicción. En el nuevo punto obtenido (XI, Yl) se evalúa la derivada [(xI' YI) usando la ecua­ción diferencial ordinaria del PVI que se esté resolviendo; se obtiene la media aritmética de esta derivada y la derivada en el punto inicial (xo' Yo)

1/2 [F(xo ,Yo) + F(Xl,YI)] = derivada promedio

Se usa la derivada promedio para calcular un nuevo valor de y₁, con la ecuación y₁=y₀+hf(x₀,y₀), que deberá ser mas exacto que y₁

y se tomara como valor definitivo de y₁. Este procedimiento se repite hasta llegar a y_n.

El esquema iterativo para este método  quedara en general así:

Primero, usando el paso de predicción resulta:

 .

Una vez obtenida y_i+1 se calcula f(x_i+1,y_i+1), la derivada en el punto (x_i+1,y_i+1), y se promedia con la derivada previa (x_i,y_i) para encontrar la derivada promedio

Se sustituye f(x_i,y_i) con este valor promedio en la ecuación de iteración de euler y se obtiene:

EJEMPLO:

 RESUELVA EL SIGUIENTE:

           

           PVI       POR EL METODO DE EULER MEJORADO.

SOLUCION:

Al utilizar 5 intervalos se tiene:

PRIMERA ITERACION:

Primer paso:   y₁=y₀+hf(x₀,y₀)= 2+0.2 (0-2)=1.6

Segundo paso: 

                           Y (0.2)= y₁=2+0.2 (-1.7)= 1.66

SEGUNDA ITERACION:

Primer paso: y₂₌y₁+hf(x₁,y₁)=1.66+0.2 (0.2-1.66)=1.368

Segundo paso: 

                            Y (0.4)=y₁=1.66+0.2 (-1.214)=1.4172

Al continuar con los cálculos se obtiene:

                                   Y₅=1.08509

                                   Y_5’= 1.11222

ALGORITMO PARA EL METODO DE EULER MEJORADO:

Para obtener la aproximación YF a la solución de un PVI, proporcionar la función F(X,Y) y los

            DATOS:         La condición inicial X0,Y0, el valor XF donde se desea conocer el valor de YF y el numero N de subintervalos por emplear.

            RESULTADOS: aproximación a YF:Y0

PASO 1.        Hacer H= (HF-X0)/N

PASO 2.        Hacer I=1

PASO 3.        Mientras I<N, repetir los pasos 4 a 7.

                        PASO 4.        Hacer y1= y0+H*(X0,Y0)

                        PASO 5.        Hacer y0=y0+ H/2*(F(X0,Y0)+F(X0+H,Y1))

                        PASO 6.        Hacer x0=X0+H

                        PASO 7.        Hacer I=I+1

PASO 8.        IMPRIMIR Y0 Y FINALIZAR.

Ejemplos Metodo Euler Mejorado

1. Dada la ecuación diferencial:
  y'=x2+y2     y(2)=0.5
Usa el método Euler mejorado para aproximar y(2.3) tomando h=0.1 en cadapaso del proceso iterativo.
1ra iteración:
x1=x0+h=2+0.1=2.1
y1*=y0+(h(f(x0,y0))=0.5+(0.1(2.06155))=0.70616
y1=y0+h(fx0,yo+fx1,y1*2)=0.5+0.1(22+0.52+2.12+0.7061622)
=0.5+0.1(2.06155+2.215552)=0.71386
2da iteración:
x2=x1+h=2.1+0.1=2.2
y2*=y1+(h(f(x0,y0))=0.71386+(0.1(2.06155))=0.92002
y2=y1+h(fx1,y1+fx2,y2*2)
=0.71386+0.1(2.12+0.713862+2.22+0.9200222)
=0.71386+0.1(2.21802+2.384632)=0.94399
3ra iteración:
x3=x2+h=2.2+0.1=2.3
y3*=y2+(h(f(x0,y0))=0.94399+(0.1(2.06155))=1.15015
y3=y2+h(fx2,y2+fx3,y3*2)
=0.94399+0.1(2.22+0.943992+2.32+1.1501522)
=0.94399+0.1(2.39398+2.571552)=1.19227
n | Xn | Yn* | Yn |
0 | 2 | -------- | 0.5 |
1 | 2.1 | 0.70616 | 0.71386 |
2 | 2.2 | 0.92002 | 0.94399 |
3 | 2.3 | 1.15015 | 1.19227 |